抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，它研究的是代數(shù)結(jié)構(gòu)的一般性質(zhì)和規(guī)律。在美國(guó)休斯敦大學(xué)的抽象代數(shù)MATH3330課程中，學(xué)生將學(xué)習(xí)代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本概念和性質(zhì)，包括群、環(huán)、域等。對(duì)于課程作業(yè)的完成，大家需要對(duì)與抽象代數(shù)相關(guān)的問題和概念有深入了解。下面是課程部分重點(diǎn)內(nèi)容總結(jié)。

　　一、休斯敦大學(xué)MATH3330課程+考試基本信息

　　(一)課程主題

　　群和環(huán)導(dǎo)論：群、子群、商、乘積、同態(tài)和同構(gòu)、理想、整環(huán)和除環(huán)。

　　(二)課程具體內(nèi)容

　　1.集合，笛卡爾積和二進(jìn)制運(yùn)算。整數(shù)的性質(zhì)，包括數(shù)學(xué)歸納法原理，同余，除法和歐幾里得算法和算術(shù)基本定理。

　　2.群，循環(huán)和正規(guī)子群，同構(gòu)和同態(tài)。有限的置換群、正規(guī)子群和商群。

　　3.環(huán)，積分域和場(chǎng)。時(shí)間允許，可能還會(huì)學(xué)復(fù)數(shù)和伽羅瓦理論和代數(shù)幾何的歷史輪廓和意義，強(qiáng)調(diào)其計(jì)算特性。本課程的這一部分，除了可能介紹復(fù)數(shù)外，其余不是考試的重點(diǎn)內(nèi)容。同學(xué)們可以合理分配復(fù)習(xí)時(shí)間到課程的其他部分。

　　(三)教材參考

　　Abstract Algebra： A First Course, 2nd Edition, Dan Saracino, ISBN： 9781577665366, Waveland Press, Inc.

　　二、三大核心

　　1.群的定義和性質(zhì)

　　群是一個(gè)集合，配備了一個(gè)二元運(yùn)算，并且滿足封閉性、結(jié)合律、單位元和逆元的性質(zhì)。在涉及到群的作業(yè)中，同學(xué)們主要需要知道怎么證明一個(gè)給定的集合和運(yùn)算是否構(gòu)成一個(gè)群，以及如何計(jì)算群的階、子群和商群等。

　　2.環(huán)

　　環(huán)是一個(gè)集合，配備了兩個(gè)二元運(yùn)算，并且滿足加法和乘法的封閉性、結(jié)合律、分配律和單位元的性質(zhì)。在涉及環(huán)的作業(yè)中，大家需要進(jìn)一步了解如何證明一個(gè)給定的集合和運(yùn)算是否構(gòu)成一個(gè)環(huán)，以及如何計(jì)算環(huán)的特征、理想和商環(huán)等。

　　3.域的概念和性質(zhì)

　　域是一個(gè)滿足一定性質(zhì)的環(huán)，其中每個(gè)非零元素都有乘法逆元。這一部分，同學(xué)們需要重點(diǎn)喜掌握如何證明一個(gè)給定的環(huán)是否構(gòu)成一個(gè)域，以及如何計(jì)算域的擴(kuò)域、代數(shù)閉包和分裂域等。

　　抽象代數(shù)不僅具有理論上的重要性，而且在實(shí)際應(yīng)用中也有著廣泛的應(yīng)用。通過學(xué)習(xí)抽象代數(shù)課程，同學(xué)們可以提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問題的能力，為將來的學(xué)習(xí)和工作打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)中有任何課程問題，歡迎大家找考而思的1V1專業(yè)課程補(bǔ)習(xí)老師幫忙補(bǔ)課!