同學們大家學習辛苦啦,在炎熱的夏天,刻苦學習的同學們也應該適當?shù)姆潘梢幌律硇?,找些自己的興趣愛好來輔助自己平時學習的壓力,放松一下心情,當然了,這些都建立在不影響大家完成自己的學業(yè)的前提下。
最近學長收到了很多溫莎大學同學發(fā)來的求助私信,說物理學的論文卡住了,不知道應該如何完成,其實學長看到物理學這門學科也挺頭疼的,關鍵問題還是在于學長不知道大家的主要問題出在了哪里,如果是考而思的專業(yè)加拿大論文輔導老師出馬,可能就好了。
話雖如此說,不過學長還是盡到了自己最大的力量,幫助同學們找到了一些關于溫莎大學物理學相關的一些知識要點,希望對同學們的學術論文寫作有所幫助。
集成的物理應用
1、從一維物體的線性密度函數(shù)確定其質(zhì)量。
2、從二維圓形物體的徑向密度函數(shù)確定其質(zhì)量。
3、計算沿直線作用的可變力所做的功。
4、計算將液體從一個高度泵到另一個高度所做的功。
5、求沉入水中的垂直板的靜水壓力。
質(zhì)量和密度
我們可以用積分來發(fā)展一個基于密度函數(shù)計算質(zhì)量的公式。首先我們考慮一根細桿或細線。調(diào)整桿的方向,使其與對齊 x -軸,桿的左端位于 x=a 桿的右端位于 x=b (圖 1.6.1 ).請注意,雖然我們在圖中描繪了具有一定厚度的桿,但出于數(shù)學目的,我們假設桿足夠薄,可以被視為一維物體。
如果桿具有恒定的密度ρρ,以單位長度的質(zhì)量給出,那么桿的質(zhì)量只是密度和桿的長度的乘積:(b?a)ρ(b?a)ρ。然而,如果桿的密度不是恒定的,問題就變得更有挑戰(zhàn)性了。當桿的密度從一點到另一點變化時,我們使用線性密度函數(shù),ρ(x)ρ(x)為了表示桿在任何點的密度,xx。讓ρ(x)ρ(x)是可積的線性密度函數(shù)。現(xiàn)在,為了i=0,1,2,…,ni=0,1,2,…,n讓P=xiP=xi是區(qū)間的規(guī)則劃分[a,b][a,b],并且對于i=1,2,…,ni=1,2,…,n選擇任意點x?i∈[xi?1,xi]xi?∈[xi?1,xi]。數(shù)字1.6.21.6.2顯示了桿的代表性部分。
質(zhì)量mimi桿的一部分xi?1xi?1到xixi近似為
mi≈ρ(x?i)(xi?xi?1)
? ? ? =ρ(x?i)Δx.mi≈ρ(xi?)(xi?xi?1)=ρ(xi?)Δx.
將所有線段的質(zhì)量相加,我們可以得到整個桿的質(zhì)量近似值:
m=∑i=1nmi
? ? ? ≈∑i=1nρ(x?i)Δx.m=∑i=1nmi≈∑i=1nρ(xi?)Δx.
這是一個黎曼和。以極限為n→∞n→∞,我們得到了桿的精確質(zhì)量的表達式:
m=limn→∞∑i=1nρ(x?i)Δx
? ? ? =∫baρ(x)dx.
我們現(xiàn)在把這個概念推廣到尋找二維半徑圓盤的質(zhì)量rr。就像我們在一維情況下看到的桿一樣,這里我們假設圓盤足夠薄,出于數(shù)學目的,我們可以將其視為二維物體。我們假設密度是以單位面積質(zhì)量給出的(稱為表面密度),并進一步假設密度僅沿磁盤半徑變化(稱為徑向密度).我們將磁盤定向在xy?planexy?plane,以原點為中心。那么,盤的密度可以被視為xx,表示為ρ(x)ρ(x)。我們假設ρ(x)ρ(x)是可積的。因為密度是xx,我們將區(qū)間從[0,r][0,r]沿著xx軸。為i=0,1,2,…,ni=0,1,2,…,n,讓P=xiP=xi是區(qū)間的規(guī)則劃分[0,r][0,r],并且對于i=1,2,…,ni=1,2,…,n,選擇任意一點x?i∈[xi?1,xi]xi?∈[xi?1,xi]?,F(xiàn)在,使用分區(qū)將磁盤分成薄的(二維)墊圈。下圖描述了一個圓盤和一個代表性的墊圈。
我們現(xiàn)在近似墊圈的密度和面積來計算近似質(zhì)量,mimi。請注意,墊圈的面積由下式給出
Ai=π(xi)2?π(xi?1)2
? ? ? =π[x2i?x2i?1]
? ? ? =π(xi+xi?1)(xi?xi?1)
? ? ? =π(xi+xi?1)Δx.
你可能還記得,當我們用殼計算體積時,有一個類似的表達式。正如我們在那里所做的,我們使用x?i≈(xi+xi?1)/2xi?≈(xi+xi?1)/2以近似墊圈的平均半徑。我們獲得
Ai=π(xi+xi?1)Δx≈2πx?iΔx.
使用ρ(x?i)ρ(xi?)為了近似墊圈的密度,我們通過下式近似墊圈的質(zhì)量
mi≈2πx?iρ(x?i)Δx.
把墊圈的質(zhì)量加起來,我們看到了質(zhì)量mm整個磁盤的大約
m=∑i=1nmi≈∑i=1n2πx?iρ(x?i)Δx.
我們再次認識到這是一個黎曼和,并把極限作為n→∞.n→∞.這給了我們
m=limn→∞∑i=1n2πx?iρ(x?i)Δx=∫r02πxρ(x)dx.
上面這些就是學長為大家辛苦總結出來的物理學中的某個知識點啦,可能學長只是為大家總結一些淺顯的東西,論文寫作方面的內(nèi)容還需要考而思的加拿大留學生論文輔導老師老幫忙了,學長預祝大家都能順利完成自己的論文。
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