微分方程指含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。解微分方程就是尋找出它的未知函數(shù)。微分方程是伴隨著微積分學(xué)一起發(fā)展起來(lái)的。微積分學(xué)的奠基人Newton和Leibniz的著作中都處理過(guò)與微分方程有關(guān)的問(wèn)題。微分方程的應(yīng)用十分廣泛，可以解決許多與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題。物理中許多涉及變力的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，如空氣的阻力為速度函數(shù)的落體運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題，很多可以用微分方程求解。還有一些微分方程在化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和人口統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域都有應(yīng)用。數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ξ⒎址匠痰难芯恐卦趲讉€(gè)不同的面向，但大多數(shù)都是關(guān)心微分方程的解。只有少數(shù)簡(jiǎn)單的微分方程可以求得解析解。不過(guò)即使沒(méi)有找到其解析解，仍然可以確認(rèn)其解的部分性質(zhì)。在無(wú)法求得解析解時(shí)，可以利用數(shù)值分析的方式，利用電腦來(lái)找到其數(shù)值解。 動(dòng)力系統(tǒng)理論強(qiáng)調(diào)對(duì)于微分方程系統(tǒng)的量化分析，而許多數(shù)值方法可以計(jì)算微分方程的數(shù)值解，且有一定的準(zhǔn)確度。微分方程可分為以下幾類，而隨著微分方程種類的不同，其相關(guān)研究的方式也會(huì)隨之不同。

　　偏微分方程常微分方程(ODE)是指微分方程的自變量只有一個(gè)的方程。最簡(jiǎn)單的常微分方程，未知數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù)或是復(fù)數(shù)的函數(shù)，但未知數(shù)也可能是一個(gè)向量函數(shù)或是矩陣函數(shù)，后者可對(duì)應(yīng)一個(gè)由常微分方程組成的系統(tǒng)。

　　偏微分方程(PDE)是指微分方程的自變量有兩個(gè)或以上 ，且方程式中有未知數(shù)對(duì)自變量的偏微分。偏微分方程的階數(shù)定義類似常微分方程，但更細(xì)分為橢圓型、雙曲線型及拋物線型的偏微分方程，尤其在二階偏微分方程中上述的分類更是重要。有些偏微分方程在整個(gè)自變量的值域中無(wú)法歸類在上述任何一種型式中，這種偏微分方程則稱為混合型。

　　約束條件微分方程的約束條件是指其解需符合的條件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的約束條件。常微分方程常見(jiàn)的約束條件是函數(shù)在特定點(diǎn)的值，若是高階的微分方程，會(huì)加上其各階導(dǎo)數(shù)的值，有這類約束條件的常微分方程稱為初值問(wèn)題。若是二階的常微分方程，也可能會(huì)指定函數(shù)在二個(gè)特定點(diǎn)的值，此時(shí)的問(wèn)題即為邊界值問(wèn)題。若邊界條件指定二點(diǎn)數(shù)值，稱為狄利克雷邊界條件(第一類邊值條件)，此外也有指定二個(gè)特定點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)的邊界條件，稱為諾伊曼邊界條件(第二類邊值條件)等。偏微分方程常見(jiàn)的問(wèn)題以邊界值問(wèn)題為主，不過(guò)邊界條件則是指定一特定超曲面的值或?qū)?shù)需符定特定條件。

　　唯一性存在性是指給定一微分方程及約束條件，判斷其解是否存在。唯一性是指在上述條件下，是否只存在一個(gè)解。針對(duì)常微分方程的初值問(wèn)題，皮亞諾存在性定理可判別解的存在性，柯西-利普希茨定理則可以判別解的存在性及唯一性。針對(duì)偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判別解的存在性及唯一性。 皮亞諾存在性定理可以判斷常微分方程初值問(wèn)題的解是否存在。

　　出國(guó)留學(xué)你也遇到過(guò)以下問(wèn)題嗎?跟不上上課節(jié)奏?疑難問(wèn)題沒(méi)人輔導(dǎo)?作業(yè)有困難，完成不了?臨近考試，不知如何復(fù)習(xí)?掛科后，補(bǔ)考沒(méi)把握?論文不知如何下筆?我們都可以搞定!小伙伴們快來(lái)加入我們的吧!~~ 考而思專業(yè)留學(xué)輔導(dǎo)，一對(duì)一雙語(yǔ)24小時(shí)無(wú)時(shí)差授課。