Hello~大家好，同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中是否遇到過(guò)困難了呢?蘭卡斯特大學(xué)馬上面臨考試不用慌，今天學(xué)姐為同學(xué)們講述數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的課程知識(shí)，希望同學(xué)們可以從中找到自己需要的知識(shí)。

　　微分方程的基礎(chǔ)學(xué)習(xí)目標(biāo)

　　確定微分方程的階。

　　解釋微分方程的解是什么意思。

　　區(qū)分微分方程的通解和特解。

　　確定一個(gè)初始值問(wèn)題。

　　確定給定的函數(shù)是微分方程的解還是初值問(wèn)題。

　　初值問(wèn)題

　　通常一個(gè)給定的微分方程有無(wú)窮多個(gè)解，自然會(huì)問(wèn)我們要用哪一個(gè)。要選擇一個(gè)解決方案，需要更多的信息。一些可能有用的具體信息是基礎(chǔ)資料，這是一個(gè)有序?qū)?，用于查找特定的解決方案。

　　帶有一個(gè)或多個(gè)初始值的微分方程稱(chēng)為初值問(wèn)題。一般規(guī)律是，初值問(wèn)題所需的初值個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)。例如，如果我們有微分方程 y'=2x ，那么 y(3)=七是一個(gè)初值，當(dāng)這些方程合在一起時(shí)，就形成了一個(gè)初值問(wèn)題。微分方程 y′′?3y'+2y=四ex 是二階的，所以我們需要兩個(gè)初始值。對(duì)于大于一階的初值問(wèn)題，自變量應(yīng)使用相同的值。這個(gè)二階方程的初始值的一個(gè)例子是 y(0)=2 和 y'(0)=?1. 這兩個(gè)初值與微分方程一起構(gòu)成一個(gè)初值問(wèn)題。這些問(wèn)題之所以如此命名，是因?yàn)槲粗瘮?shù)中的自變量通常是 t ，代表時(shí)間。因此，值為 t=0 代表問(wèn)題的開(kāi)始。

　　驗(yàn)證該功能 y=2e?2t+et 是初值問(wèn)題的解決方案

　　y'+2y=3et,y(0)=3.

　　解決辦法

　　對(duì)于滿(mǎn)足初值問(wèn)題的函數(shù)，它必須同時(shí)滿(mǎn)足微分方程和初始條件。為了證明這一點(diǎn) y 滿(mǎn)足微分方程，我們開(kāi)始計(jì)算 y' 。這給 y'=?四e?2t+et 。接下來(lái)我們兩者都替換 y 和 y' 放入微分方程的左邊并簡(jiǎn)化:

　　y'+2y=(?四e?2t+et)+2(2e?2t+et)=?四e?2t+et+四e?2t+2et=3et。

　　這等于微分方程的右邊，所以 y=2e?2t+et 解微分方程。接下來(lái)我們計(jì)算 y(0) ：

　　y(0)=2e?2(0)+e0=2+一=3.

　　該結(jié)果驗(yàn)證了初始值。因此，給定的函數(shù)滿(mǎn)足初值問(wèn)題。

　　解決以下初始值問(wèn)題:

　　y'=3ex+x2?四,y(0)=5.

　　解決辦法

　　解決這個(gè)初值問(wèn)題的第一步是找到一個(gè)通用的解族。為此，我們找到微分方程兩邊的反導(dǎo)數(shù)

　　∫y'dx=∫(3ex+x2?四)dx,

　　也就是說(shuō)，

　　y+C一=3ex+一3x3?四x+C2 。

　　我們能夠整合兩邊，因?yàn)閥項(xiàng)是自己出現(xiàn)的。請(qǐng)注意，有兩個(gè)積分常數(shù): C一 和 C2 。解這個(gè)方程 y 給

　　y=3ex+一3x3?四x+C2?C一。

　　因?yàn)?C一 和 C2 都是常數(shù)， C2?C一 也是一個(gè)常數(shù)。因此，我們可以定義 C=C2?C一, 這導(dǎo)致了等式

　　y=3ex+一3x3?四x+C。

　　接下來(lái)我們確定 C 。為此，我們用 x=0 和 y=5 進(jìn)入這個(gè)方程并求解 C ：

　　55C=3e0+一303?四(0)+C=3+C=2。

　　現(xiàn)在我們替換這個(gè)值 C=2 變成一般的方程式。初值問(wèn)題的解決方案是 y=3ex+一3x3?四x+2.

　　分析

　　一般解和特殊解的區(qū)別在于，一般解涉及一族獨(dú)立變量的函數(shù)，無(wú)論是顯式的還是隱式的。一個(gè)或多個(gè)初始值決定了解決方案系列中的哪個(gè)特定解決方案滿(mǎn)足所需條件。

　　以上是數(shù)學(xué)課程考試的相關(guān)理論知識(shí)，留學(xué)生在國(guó)外學(xué)習(xí)遇到考試前的知識(shí)梳理問(wèn)題，都可以找考而思的老師幫助，祝同學(xué)們都能順利完成學(xué)業(yè)。