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　　學(xué)習(xí)目標(biāo)

　　確定微分方程的階。

　　解釋微分方程的解是什么意思。

　　區(qū)分微分方程的通解和特解。

　　確定一個(gè)初始值問題。

　　確定給定的函數(shù)是微分方程的解還是初值問題。

　　微積分是變化的數(shù)學(xué)，變化率用導(dǎo)數(shù)表示。因此，使用微積分最常見的方法之一是建立一個(gè)包含未知函數(shù)的方程 y=f(x) 及其導(dǎo)數(shù)，稱為微分方程。求解這樣的方程通常提供關(guān)于量如何變化的信息，并且經(jīng)常提供關(guān)于變化如何以及為什么發(fā)生的洞察。

　　求解微分方程的技術(shù)可以采取許多不同的形式，包括直接求解、使用圖形或計(jì)算機(jī)計(jì)算。我們?cè)诒菊轮薪榻B了主要思想，并在課程的后面更詳細(xì)地描述了它們。在本節(jié)中，我們研究什么是微分方程，如何驗(yàn)證它們的解，一些用于求解它們的方法，以及一些常見和有用的方程的例子。

　　一般微分方程

　　考慮一下等式 y'=3x2, 這是一個(gè)微分方程的例子，因?yàn)樗粋€(gè)導(dǎo)數(shù)。變量之間是有關(guān)系的 x 和 y:y 是的未知函數(shù) x 。此外，方程的左手邊是 y 。因此我們可以這樣解釋這個(gè)方程:從某個(gè)函數(shù)開始 y=f(x) 取它的導(dǎo)數(shù)。答案必須等于 3x2 。什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于 3x2 ?其中一個(gè)功能是 y=x3 ，所以這個(gè)函數(shù)被認(rèn)為是解決辦法微分方程。

　　定義:微分方程

　　A微分方程是一個(gè)包含未知函數(shù)的方程 y=f(x) 及其一種或多種衍生物。微分方程的解是一個(gè)函數(shù) y=f(x) 滿足微分方程，當(dāng) f 它的導(dǎo)數(shù)被代入方程。

　　微分方程及其解的例子：

　　y′=2x y=x2

　　y′+3y=6x+11 y=e?3x+2x+3

　　y′′?3y′+2y=24e?2x y=3ex?4e2x+2e?2x

　　請(qǐng)注意，微分方程的解不一定是唯一的，主要是因?yàn)槌?shù)的導(dǎo)數(shù)為零。比如， y=x2+4 也是表中第一個(gè)微分方程的解 8.1.1 。我們將在本節(jié)稍后部分回到這個(gè)想法?，F(xiàn)在，讓我們集中討論函數(shù)是微分方程的解意味著什么。

　　驗(yàn)證微分方程的解

　　驗(yàn)證該功能 y=e?3x+2x+3 是微分方程的解 y'+3y=6x+11 。

　　解決辦法

　　為了驗(yàn)證解決方案，我們首先計(jì)算 y' 對(duì)導(dǎo)數(shù)使用鏈?zhǔn)椒▌t。這給 y'=?3e?3x+2 。接下來我們替換 y 和 y' 在微分方程的左邊:

　　(?3e?2x+2)+3(e?2x+2x+3).

　　得到的表達(dá)式可以通過首先分布以消除括號(hào)來簡化，給出

　　?3e?2x+2+3e?2x+6x+9.

　　將相似的術(shù)語組合在一起就產(chǎn)生了這個(gè)表達(dá)式 6x+11 ，等于微分方程的右邊。這一結(jié)果證明 y=e?3x+2x+3 是微分方程的解。

　　確定微分方程的階

　　方程中的最高導(dǎo)數(shù)是 y' ,

　　以下每個(gè)微分方程的階數(shù)是多少?

　　a.y'?4y=x2?3x+4

　　b.x2y′′′?3xy′′+xy'?3y=sinx

　　c.4xy(4)?6x2y′′+12x4y=x3?3x2+4x?12

　　解決辦法

　　a.方程中的最高導(dǎo)數(shù)是 y' ，所以順序是 1 。

　　b.方程中的最高導(dǎo)數(shù)是 y′′′ ，所以順序是 3 。

　　c.方程中的最高導(dǎo)數(shù)是 y(4) ，所以順序是 4

　　尋找特定的解決方案。

　　找到微分方程的特殊解 y'=2x 穿過點(diǎn) (2,7) 。

　　解決辦法

　　表單的任何功能 y=x2+C 是這個(gè)微分方程的解。確定的價(jià)值 C ，我們替換這些值 x=2 和 y=7 進(jìn)入這個(gè)方程并求解 C ：

　　y=x2+C7=22+C=4+CC=3.

　　因此，通過該點(diǎn)的特定解決方案 (2,7) 存在 y=x2+3 。

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