微分幾何是用微積分和線性代數(shù)的方法研究幾何的學(xué)科。這門(mén)學(xué)科在科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域有許多應(yīng)用。愛(ài)丁堡大學(xué)幾何(MATH10074)課程在歐幾里得空間的曲線和曲面的背景下對(duì)這個(gè)經(jīng)典主題進(jìn)行了研究。針對(duì)這門(mén)課的考試，我們整理了一些重點(diǎn)難點(diǎn)，應(yīng)該可以幫助有需要的同學(xué)更好地復(fù)習(xí)備考。

一、課程重點(diǎn)

1、歐幾里得空間中的曲線：正則性，速度，弧長(zhǎng)，F(xiàn)renet-Serret框架，曲率和撓率，等價(jià)問(wèn)題。

2、R^n：微積分切線向量，向量場(chǎng)，微分形式，活動(dòng)標(biāo)架，聯(lián)結(jié)形式，結(jié)構(gòu)方程。

3、歐幾里得空間中的曲面：正則性、第一和第二基本形式、曲率(主、平均、高斯)、等距、高斯定理、曲面上的測(cè)地線、形式的積分、斯托克斯定理的陳述、歐拉特征、高斯-博內(nèi)定理(草圖證明)。

二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)

1、陳述定義和定理，并在不查閱筆記/書(shū)籍的情況下準(zhǔn)確地給出標(biāo)準(zhǔn)證明。

2、計(jì)算空間曲線的Frenet-Serret標(biāo)架，并在簡(jiǎn)單的例子中確定其撓率和曲率。

3、準(zhǔn)確處理微分形式，并執(zhí)行楔形積和外部導(dǎo)數(shù)的基本操作。

4、用簡(jiǎn)單的例子計(jì)算曲面的第一和第二基本形式和曲率。

5、運(yùn)用課程中發(fā)展的理論解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

三、備考材料

補(bǔ)充閱讀推薦書(shū)籍(非必備)：

1、Differential forms and Applications, Manfredo P. Do Carmo, Springer 1994

2、Differential Geometry of Curves and Surfaces, Manfredo P. Do Carmo, Prentice-Hall 1976

如果你在準(zhǔn)備幾何課程考試的過(guò)程中遇到難題，或是需要更多有關(guān)愛(ài)丁堡大學(xué)考試復(fù)習(xí)備考的建議和提示，都可以直接與我們進(jìn)行溝通，我們會(huì)在第一時(shí)間為你提供幫助喲。