課程內(nèi)容：

學(xué)生將使用隨機(jī)變量的概念及其用途作為不確定未來(lái)收益的模型。概念方面，課程分析的重要概念之一是條件期望，特別注意正態(tài)分布和多元正態(tài)分布。涉及不確定性的隨時(shí)間演化的系統(tǒng)被建模為隨機(jī)過(guò)程。離散時(shí)間中這樣的例子有隨機(jī)漫步和鞅。應(yīng)用方面，課程研究了保險(xiǎn)中的風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了破產(chǎn)概率的界。連續(xù)時(shí)間模型基于布朗運(yùn)動(dòng)。隨機(jī)分析使用伊藤積分和伊藤公式的新概念。金融領(lǐng)域的應(yīng)用涉及布萊克-斯科爾斯模型和奧恩斯坦-烏倫貝克過(guò)程。引入了簡(jiǎn)單的隨機(jī)微分方程。利率的另一個(gè)應(yīng)用是Vasicek的隨機(jī)微分方程。介紹了一種新的數(shù)學(xué)方法——概率測(cè)度變換。Girsanov定理給出了布朗運(yùn)動(dòng)及相關(guān)過(guò)程的測(cè)度變化。為了管理金融風(fēng)險(xiǎn)，提出了資產(chǎn)定價(jià)的基本定理，并將其應(yīng)用于各種模型，如二項(xiàng)式和布萊克-斯科爾斯模型。套利、復(fù)制投資組合等重要概念被用于期權(quán)和其他金融合約的定價(jià)和對(duì)沖。

學(xué)習(xí)成果：

成功完成課程后，學(xué)生應(yīng)該能夠：

1、學(xué)習(xí)評(píng)估不確定未來(lái)收益的現(xiàn)代方法；

2、描述套利的概念及其與金融合約的相關(guān)性；

3、展示對(duì)條件期望、鞅和停止時(shí)間的理解；

4、解釋隨機(jī)過(guò)程的模型，如隨機(jī)行走，布朗運(yùn)動(dòng)和擴(kuò)散，以及隨機(jī)微分方程；

5、用伊藤公式和基本隨機(jī)微積分解一些隨機(jī)微分方程；

6、應(yīng)用概率測(cè)度變換方法和等價(jià)鞅測(cè)度對(duì)金融衍生品進(jìn)行定價(jià)；

7、將資產(chǎn)定價(jià)的基本定理應(yīng)用于二項(xiàng)式和布萊克-斯科爾斯模型；

8、建立保險(xiǎn)中的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，并利用可選停止定理來(lái)控制破產(chǎn)概率。

課程評(píng)估：連續(xù)評(píng)估，40%；考試(3小時(shí)10分鐘)，60%。