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  課程顧問-小管家 2023-04-26 04:35:52

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  在數(shù)學(xué)中，偏微分方程是微分方程的一種，其中方程包含未知的多變量及其偏導(dǎo)數(shù)。這是一個(gè)特例的常微分方程。在這篇文章中，我會(huì)為大家介紹一下通過更多的例子和解決的問題來討論什么是偏微分方程，如何表示它，它的分類和類型。

  一、偏微分方程定義

  偏微分方程通常稱為是一個(gè)包含因變量(一個(gè)或多個(gè))的偏導(dǎo)數(shù)和多個(gè)自變量的微分方程。如果f是u及其導(dǎo)數(shù)的線性函數(shù)，則稱偏微分方程是線性的。簡(jiǎn)單偏微分方程由下式給出：?u/?x (x，y) = 0。

  二、偏微分方程分類

  每種類型的偏微分方程都有一定的功能，有助于確定特定的有限元方法是否適合偏微分方程所描述的問題。解取決于方程，幾個(gè)變量包含變量的偏導(dǎo)數(shù)。力學(xué)中有三種二階偏微分方程，分別是橢圓偏微分方程、拋物線偏微分方程、雙曲線偏微分方程。

  三、偏微分方程類型

  偏微分方程的不同類型有:

  1、一階偏微分方程

  在數(shù)學(xué)中，當(dāng)我們談到一階偏微分方程，則該方程只有具有“m”個(gè)變量的未知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。它的表現(xiàn)形式是；F(x一，…，xm，u，ux1,….，u執(zhí)行節(jié)點(diǎn))=0

  2、線性偏微分方程

  如果因變量及其所有偏導(dǎo)數(shù)在任何偏微分方程中線性出現(xiàn)，那么這樣的方程稱為線性偏微分方程，否則稱為非線性偏微分方程。在上面的例子中(1)和(2)被稱為線性方程，而例子(3)和(4)被稱為非線性方程。

  3、擬線性偏微分方程

  如果所有具有因變量高階導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)都是線性出現(xiàn)的，即這些項(xiàng)的系數(shù)只是因變量的低階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則稱偏微分方程是擬線性的。然而，具有低階導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)可以以任何方式出現(xiàn)。上面列表中的示例(3)是一個(gè)準(zhǔn)線性方程。

  4、齊次偏微分方程

  如果偏微分方程的所有項(xiàng)都包含因變量或其偏導(dǎo)數(shù)，那么這種偏微分方程就稱為非齊次偏微分方程，否則稱為齊次偏微分方程。在上述四個(gè)例子中，例子(4)是非齊次的，而前三個(gè)方程是齊次的。

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