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  課程顧問(wèn)-小管家 2023-04-20 20:25:54

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  可以輔導(dǎo)的同學(xué)~可以輔導(dǎo)微分幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)~我們是專(zhuān)注于留學(xué)生學(xué)術(shù)輔導(dǎo)12年，可輔導(dǎo)專(zhuān)業(yè)內(nèi)容涵蓋達(dá)97%。

  微分幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)輔導(dǎo)

  必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是理解拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)的前提，其核心內(nèi)容是閉曲面的Gauss-Bonnet公式：

  
  

  

  其中，等號(hào)左邊的K為閉曲面上某點(diǎn)的Gauss曲率;dA為閉曲面的面積元，所以上式等號(hào)左邊完全由閉曲面的局域幾何性質(zhì)決定;等號(hào)右邊則是刻畫(huà)閉曲面整體性質(zhì)的2個(gè)拓?fù)洳蛔兞浚洪]曲面的虧格數(shù)g與Euler示性數(shù)χ，兩者的關(guān)系為

  χ=2-2g

  因此，Gauss-Bonnet公式把閉曲面的局域微分性質(zhì)與整體拓?fù)湫再|(zhì)有機(jī)地聯(lián)系在一起。進(jìn)而，我們分別以虧格為0的球面S2與虧格為1的環(huán)面T2為例，引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算驗(yàn)證了式(1)。下面，分別闡述教學(xué)中需要注意的問(wèn)題。

  首先，對(duì)于式(1)中等號(hào)左邊，關(guān)鍵在于介紹Gauss曲率K。考慮到學(xué)生已經(jīng)在狹義相對(duì)論中學(xué)習(xí)過(guò)張量運(yùn)算，并在高等數(shù)學(xué)中接觸過(guò)基礎(chǔ)的微分幾何學(xué)，因此，可以比較容易地引入曲面的第一基本形式，即曲面上兩點(diǎn)間線元平方ds2的二次型表達(dá)式，

  ds2=gμνduμduν

  其中，uμ,uν(μ,ν=1,2)為曲面的坐標(biāo);gμν為曲面的度規(guī)。進(jìn)而，再形象地引入曲面的第二基本形式，即曲面上某點(diǎn)鄰域內(nèi)的另一點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)處切平面的偏離δ的二次型表達(dá)式，

  2δ=ωμνduμduν

  由此，說(shuō)明利用曲面上某點(diǎn)處的兩個(gè)基本形式之比就可以刻畫(huà)曲面在這一點(diǎn)某個(gè)方向上的彎曲程度，即曲面的法曲率κn=2δ/ds2。很容易看出，法曲率在兩個(gè)正交的方向上分別有最大值κ1與最小值κ2。在此基礎(chǔ)上，即可給出

  曲面的Gauss曲率K：

  這樣下來(lái)，學(xué)生就會(huì)比較自然地接受這些概念。

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