多倫多大學(xué)商業(yè)數(shù)學(xué)方向有一門微積分與證明課程，以下直接用課程代碼MAT137Y1表述。MAT137Y1這門課程有很多基礎(chǔ)知識和技能需要掌握，為了幫助同學(xué)們更好地掌握這門課程，多倫多大學(xué)的在線課程為學(xué)生提供了豐富的線上作業(yè)以及各類測驗和視頻練習(xí)材料等。下面我們主要分析兩個經(jīng)典題目和同學(xué)們在學(xué)習(xí)中比較容易出錯的地方。

　　一、MAT137Y1例題

　　1.問題一：

　　0·∞是一種極限不確定的形式。這意味著，當(dāng)計算一個極限時，如果我們遇到0·∞，我們不能僅基于這個信息得出極限的值。證明該限制的實際值可以是任何實數(shù)。你可以在某個點(在實數(shù)上)使用限制，或在∞或?∞使用邊限制。

　　2.問題二：

　　設(shè)a

　　這是定義良好的。換句話說，這個集合必須有一個上值，你需要證明它。

　　二、題目解析

　　1.問題一答案：

　　令c∈R，我們構(gòu)造一個具有實際極限c的0·∞的極限不確定形式的例子。

　　設(shè)f是由f (x) = x定義的函數(shù)。請注意，limx→∞f (x) =∞。

　　設(shè)g是由g (x) = c /x定義的函數(shù)。請注意，limx→∞g (x) = 0.

　　因此，極限值limx→∞g(x)f(x)是0·∞型的一種不確定形式。此外limx→∞g(x)f(x)=limx→∞h c x·x i=limx→∞[c/x·x]=linx→∞c=c

　　請注意，c是一個任意的實數(shù)。這證明了0·∞的極限不確定形式可以是任何實數(shù)。

　　2.問題二答案：

　　定義集合：A = {LP (f) | P is a partition of [a, b]} .

　　我們將證明A是有界的，并且是非空的。然后，根據(jù)最小上限的性質(zhì)，它必須有一個上值。

　　集A不是空的，因為至少存在一個分區(qū)。例如，讓我們?nèi)∑椒驳姆謪^(qū)Q = {a，b}。然后是LQ (f)∈A，集合A至少有一個元素，所以它不是空的。為了顯示A在上面是有界的，讓我們固定一個分區(qū)。例如，讓我們?nèi)∑椒驳姆謪^(qū)Q = {a，b}。然后，通過上和和上和的性質(zhì)我們知道? partitions P of [a, b], LP (f) ≤ UQ(f)

　　因此，A中的每個數(shù)字都小于或等于UQ (f)，UQ (f)是A的上界，而a在上有界。

　　注意：當(dāng)證明A在上有界時，重要的是約束所有的下和與相同的上和。你需要找到一個數(shù)字x，這樣所有分區(qū)P的LP (f)≤x;數(shù)字x不能依賴于P。特別是如果你對所有分區(qū)P，LP (f)≤UP (f)寫它，你就沒有找到A的上界。

　　三、易錯點分析

　　1.問題一易錯點：

　　題目要求你證明0·∞類型的極限不確定形式可以是任何實數(shù)，而不僅僅是證明它可以是某個數(shù)。

　　有些同學(xué)可能試圖證明泛型函數(shù)f和g，而不是建立特定的例子。這在這種情況下是沒有意義的。

　　2.問題二易錯點：

　　要使用LUB原理，你需要證明一個集合是有界的和非空的。

　　為了證明下和的集合是有界的，你需要找一個數(shù)x來做? partitions P, LP (f) ≤ x

　　數(shù)字x不能依賴于P。對于所有分區(qū)，它必須是相同的數(shù)字。如果你寫了類似? partitions P, LP (f) ≤ UP (f)，那么你還沒有找到一個上限。

　　有些同學(xué)假設(shè)I b a (f)存在，然后繼續(xù)“證明”它等于較低和集合的上值。這不是題目問你的，而且也毫無意義!如果你假設(shè)I b a (f)存在，那么根據(jù)定義，它是較低和集合的上值：沒有什么可證明的!

　　有同學(xué)可能假定f不是可積的(而且，它與問題無關(guān))，也是易錯點之一。

　　以上是微積分與證明課程的兩個例題分析，同學(xué)們在課程學(xué)習(xí)中遇到難題，歡迎咨詢考而思的專業(yè)老師尋求更完整且更專業(yè)的解答。