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  課程顧問-小管家 2023-04-25 13:26:56

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  　　廣義線性模型圖論課程我們當然是有可以補習的老師了。

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  　　什么是廣義線性模型?

  　　廣義線性模型(GLiM，或GLM)是由John Nelder和Robert Wedderburn于1972年制定的一種先進的統(tǒng)計建模技術。這是一個涵蓋性術語，它包含許多其他模型，該模型允許響應變量y的誤差分布不同于a。正態(tài)分布。這些模型包括線性回歸，邏輯回歸和泊松回歸。

  　　在線性回歸模型中，響應(即因變量/目標)變量“ y”表示為所有預測變量“ X”的線性函數(shù)/線性組合(即獨立變量/回歸變量/解釋變量/觀測變量)。響應和預測變量之間的基本關系是線性的(即我們可以簡單地以直線形式可視化關系)。另外，響應變量的錯誤分布應為正態(tài)分布。因此，我們正在建立一個線性模型。

  　　GLM模型使我們能夠在響應和預測變量之間建立線性關系，即使它們之間的基本關系不是線性的。這可以通過使用鏈接函數(shù)將響應變量鏈接到線性模型來實現(xiàn)。與線性回歸模型不同，響應變量的誤差分布不需要正態(tài)分布。假定響應變量中的誤差遵循指數(shù)分布分布(即正態(tài)分布，二項分布，泊松分布或伽馬分布)。

  　　由于我們試圖推廣也可以在這些情況下應用的線性回歸模型，因此將名稱命名為Generalized Linear Models。

  　　為什么是GLM?

  　　如果以下情況不適合使用線性回歸模型，

  　　X和y之間的關系不是線性的。它們之間存在一些非線性關系。例如，y隨X的增加呈指數(shù)增長。

  　　y中的誤差方差(通常稱為線性回歸中的同方差)不是恒定的，并且隨X的變化而變化。

  　　響應變量不是連續(xù)的，而是離散的/分類的。線性回歸假設響應變量的正態(tài)分布，該變量只能應用于連續(xù)數(shù)據(jù)。如果嘗試在離散/二進制y變量上建立線性回歸模型，則線性回歸模型會為相應的響應變量預測負值，這是不合適的。

  

  　　GLM的假設：

  　　與線性回歸模型相似，廣義線性模型也有一些基本假設。大多數(shù)假設與線性回歸模型相似，而一些線性回歸的假設已修改。

  　　數(shù)據(jù)應該是獨立且隨機的(每個隨機變量具有相同的概率分布)。

  　　響應變量y不需要正態(tài)分布，但是分布來自指數(shù)族(例如，二項式，泊松，多項式，正態(tài))

  　　原始響應變量不必與自變量具有線性關系，但是轉換后的響應變量(通過鏈接函數(shù))線性依賴于自變量

  　　例如，對數(shù)回歸方程，對數(shù)幾率=β0+β1X1+β2X2，

  　　其中β0，β1，β2是回歸系數(shù)，X1，X2是自變量

  　　可以應用對自變量的特征工程，即代替采用原始的原始自變量，可以進行變量轉換，并且還可以對轉換后的自變量(例如進行對數(shù)轉換，對變量進行平方，對等)進行轉換。用于構建GLM模型。

  　　不需要等方性(即恒定方差)。響應變量誤差方差可以隨著獨立變量而增加或減少。

  　　錯誤是獨立的，但無需正態(tài)分布

  　　GLM的組成部分：

  　　GLM中包含3個組件。

  　　系統(tǒng)組件/線性預測器：

  　　它只是預測變量和回歸系數(shù)的線性組合。

  　　β0+β1X1+β2X2

  　　鏈接功能：

  　　用η或g(μ)表示，它指定了隨機和系統(tǒng)成分之間的聯(lián)系。它指示響應的期望/預測值如何與預測變量的線性組合相關。

  　　隨機分量/概率分布：

  　　它是指分布變量中響應變量的概率分布。

  　　分布族稱為指數(shù)族，包括正態(tài)分布，二項分布或泊松分布。

  　　下面總結了概率分布表及其相應的鏈接函數(shù).

  　　不同的廣義線性模型：

  　　GLiM系列中常用的模型包括：

  　　線性回歸，對于具有正態(tài)分布的連續(xù)結果：

  　　在此，我們根據(jù)解釋變量對連續(xù)響應變量的平均期望值進行建模。使用身份鏈接功能，這是最簡單的鏈接功能。

  　　如果只有1個預測變量，則該模型稱為簡單線性回歸。如果有2個或更多解釋變量，則該模型稱為多重線性回歸。

  　　簡單線性回歸，y =β0+β1X1

  　　多元線性回歸，y =β0+β1X1+β2X2

  　　響應是連續(xù)的

  　　預測變量可以是連續(xù)的或分類的，也可以進行轉換。

  　　誤差呈正態(tài)分布，方差恒定。

  　　二進制Logistic回歸，用于二項分布或二項式或二項結果：

  　　在此，對數(shù)賠率表示為解釋變量的線性組合。 Logit是鏈接功能。 Logistic或Sigmoid函數(shù)將概率返回為輸出，范圍在0到1之間。

  　　對數(shù)賠率=β0+β1X1+β2X2

  　　反應變量只有2個結果

  　　預測變量可以是連續(xù)的或分類的，也可以進行轉換。

  　　泊松回歸，用于基于計數(shù)和泊松分布的結果：

  　　此處的計數(shù)值表示為解釋變量的線性組合。Log link是鏈接函數(shù)。

  　　log(λ)=β0+β1×1 +β2×2，

  　　其中λ是計數(shù)變量的平均值

  　　響應變量是單位時間和空間的計數(shù)值

  　　預測變量可以是連續(xù)的或分類的，也可以進行轉換。

  　　廣義線性模型和廣義線性模型之間的區(qū)別：

  　　通用線性模型，也表示為GLM，是廣義線性模型(GLiM)的特例。通用線性模型是指具有連續(xù)響應變量的正常線性回歸模型。它包括許多統(tǒng)計模型，例如單線性回歸，多元線性回歸，Anova，Ancova，Manova，Mancova，t檢驗和F檢驗。通用線性模型假定殘差/誤差服從正態(tài)分布。另一方面，廣義線性模型允許殘差具有指數(shù)分布族的其他分布。

  　　廣義線性模型可以關聯(lián)數(shù)據(jù)嗎?

  　　對于廣義線性模型，數(shù)據(jù)不應相互關聯(lián)。如果數(shù)據(jù)相關，則模型性能將不可靠。因此，GLM不適合用于時間序列數(shù)據(jù)，在這些數(shù)據(jù)中，通常數(shù)據(jù)會具有一些自相關。但是，還開發(fā)了一些GLM變體來考慮數(shù)據(jù)中的相關性，例如廣義估計方程(GEE)模型和廣義線性混合模型(GLMM)模型。

  　　圖論是什么?

  　　圖論的主題起源于休閑數(shù)學問題(參見數(shù)字游戲)，但它已發(fā)展成為數(shù)學研究的重要領域，并應用于化學，運籌學，社會科學和計算機科學。

  　　圖論經(jīng)典圖形：

  　　歐拉回路

  　　圖是頂點或節(jié)點以及部分或所有頂點之間的邊的集合。當存在一條路徑，該路徑恰好遍歷每個邊緣一次，從而該路徑在同一頂點處開始和結束時，該路徑稱為歐拉回路，而該圖稱為歐拉圖。

  　　哈密頓回路

  　　一個有向圖，其中路徑在相同的頂點上開始和結束(閉環(huán))，以使每個頂點都被精確地訪問一次，這被稱為哈密頓電路。 19世紀的愛爾蘭數(shù)學家威廉·羅恩·漢密爾頓(William Rowan Hamilton)開始了對此類圖的系統(tǒng)數(shù)學研究。圖論與拓撲之間的聯(lián)系導致了一個稱為拓撲圖論的子域。該領域中的一個重要問題涉及平面圖。

  　　由于條件限制我們就不一一列舉廣義線性模型與圖論的圖形了。

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