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  課程顧問(wèn)-小管家 2023-04-20 10:19:57

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  隨機(jī)過(guò)程在金數(shù)上的確是所有定價(jià)模型的基礎(chǔ)。除了永久固定利息的之外，每個(gè)資產(chǎn)價(jià)格的變化都是隨機(jī)的，所以理論上來(lái)說(shuō)，這一變化過(guò)程可以通過(guò)某一系列的隨機(jī)變量表示。

  但是我們目前并不知道這些隨機(jī)變量的變化有什么規(guī)律，因此，應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程并不能完全模擬價(jià)格的變化，但卻是一個(gè)折衷的辦法可以把不規(guī)律的隨機(jī)過(guò)程簡(jiǎn)化為規(guī)律的隨機(jī)過(guò)程，希望能概括所有的大概率事件。最基礎(chǔ)的隨機(jī)過(guò)程即布朗運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)單的說(shuō)是一系列獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(即i.i.d)之和。

  概率知識(shí)告訴我們，i.i.d之和還是正態(tài)分布。John Hull的Options, Futures and Other Derivatives 對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)有比較系統(tǒng)的說(shuō)明，但是對(duì)于很多概念性的小細(xì)節(jié)，則需要結(jié)合概率的知識(shí)去理解，比如正態(tài)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概念，性質(zhì)和分布圖，比如正態(tài)分布的期望和方差，對(duì)比對(duì)數(shù)正態(tài)分布的期望和方差形式上有何不同，是否對(duì)稱?算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)(arithmetic brownian motion)和幾何布朗運(yùn)動(dòng)(geometric brownian motion)在金數(shù)中最為常見(jiàn)，前者比后者更容易理解，所以一般把后者轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)形式后，就形同與前者可以理解了。

  前者是正態(tài)分布，而后者為對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即其對(duì)數(shù)為正態(tài)分部。需要注意的是，價(jià)格的對(duì)數(shù)形式之差即為幾何增長(zhǎng)率，意味著若股票價(jià)格是幾何布朗運(yùn)動(dòng)則其幾何增長(zhǎng)率呈正態(tài)分布。

  最后來(lái)個(gè)簡(jiǎn)單的小測(cè)驗(yàn)：如果股票價(jià)格是算數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)，那假設(shè)神馬東東是正態(tài)分布呢?

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