A-Level進(jìn)階數(shù)學(xué)（A-Level Further Mathematics）是英國A-Level課程體系中難度最高的數(shù)學(xué)課程之一，適合計劃將來在大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理、工程、計算機、統(tǒng)計、精算、經(jīng)濟(jì)等理科專業(yè)的學(xué)生。這門課程在普通A-Level數(shù)學(xué)（A-Level Mathematics）的基礎(chǔ)上繼續(xù)深入，內(nèi)容廣泛而深入，涵蓋大量大學(xué)初級甚至部分中級數(shù)學(xué)內(nèi)容。

一、A-Level進(jìn)階數(shù)學(xué)課程概述

1. 什么是A-Level進(jìn)階數(shù)學(xué)？

A-Level進(jìn)階數(shù)學(xué)是A-Level數(shù)學(xué)的延伸，只可在完成或同時學(xué)習(xí)A-Level數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上選修。教授內(nèi)容比普通A-Level數(shù)學(xué)更加抽象，含有更高階的代數(shù)、微積分、復(fù)數(shù)、矩陣、向量、微分方程等內(nèi)容。對邏輯思維能力、抽象理解力和數(shù)學(xué)建模能力要求較高。

2. 哪些學(xué)生適合選修？

- 計劃申請牛津、劍橋、帝國理工、華威、UCL、LSE等英國頂尖大學(xué)數(shù)學(xué)、工程、計算機、經(jīng)濟(jì)等專業(yè)的學(xué)生。

- 數(shù)學(xué)能力強，對抽象問題和公式推導(dǎo)感興趣，愿意花時間深入鉆研。

- 想通過該課程在大學(xué)階段獲得課程免修或提升背景競爭力的學(xué)生。

二、A-Level進(jìn)階數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)

A-Level進(jìn)階數(shù)學(xué)是一門完整的A-Level課程，通常與A-Level數(shù)學(xué)同時學(xué)習(xí)。根據(jù)英格蘭各大考試局的大綱，A-Level進(jìn)階數(shù)學(xué)通常包含核心和選修兩部分。選修涵蓋：

- 高階純數(shù)學(xué)（Further Pure）

- 高階力學(xué)（Further Mechanics）

- 高階統(tǒng)計（Further Statistics）

- 離散/決策數(shù)學(xué)（Discrete / Decision Mathematics）

各考試局在細(xì)節(jié)上略有不同，但大致模塊是類似的。下面將以Edexcel 為例，說明其具體內(nèi)容。

三、A-Level進(jìn)階數(shù)學(xué)核心內(nèi)容

分為兩部分，內(nèi)容包括線性代數(shù)與微積分的核心概念：

（一）Core Pure 1：

1. 復(fù)數(shù)：

- 虛數(shù)單位

- 復(fù)平面與極坐標(biāo)表示法

- 歐拉公式

- 德摩弗定理

- n次單位根

2. 矩陣與線性變換：

- 矩陣乘法、逆矩陣

- 矩陣表示的線性變換

- 特征值與特征向量

3. 進(jìn)階代數(shù)與函數(shù)：

- 多項式恒等式

- 根與系數(shù)關(guān)系

- 向量方法處理三維幾何問題

4. 微積分與積分技巧：

- 函數(shù)組合與鏈?zhǔn)椒▌t的推廣

- 高階導(dǎo)數(shù)

- 有理函數(shù)積分、部分分式分解

- 廣義積分技巧（如雙曲函數(shù)積分）

5. 超越函數(shù)：

- 定義及性質(zhì)

- 與三角函數(shù)的類比

- 導(dǎo)數(shù)與積分公式

6. 極坐標(biāo)方程：

- 圖像繪制技巧

- 面積與弧長計算

- 與直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

（二）Core Pure 2：

7. 微分方程：

- 一階與二階線性微分方程

- 常系數(shù)齊次與非齊次微分方程

- 特解與通解法

- 應(yīng)用：人口增長、電路、物理運動等建模

8. 級數(shù)展開：

- 泰勒級數(shù)、麥克勞林級數(shù)

- 正弦、余弦、指數(shù)函數(shù)展開

- 收斂半徑的初步理解

9. 向量與空間幾何：

- 向量點乘與叉乘

- 空間直線和平面的方程

- 夾角、距離等空間幾何問題

四、A-Level進(jìn)階數(shù)學(xué)選修內(nèi)容

學(xué)校通常會從以下模塊中選取兩個進(jìn)行教學(xué)：

1. Further Mechanics 1：

- 動量與沖量、碰撞問題

- 簡諧運動

- 能量守恒與功

- 轉(zhuǎn)動運動

- 中心力與軌道運動模型

2. Further Statistics 1：

- 分布函數(shù)（Poisson、Geometric、Negative Binomial等）

- 連續(xù)隨機變量、概率密度函數(shù)

- 置信區(qū)間與假設(shè)檢驗（Z檢驗、t檢驗）

- 卡方分布、獨立性檢驗

- 回歸分析與擬合優(yōu)度

3. Decision Mathematics：

- 圖論基礎(chǔ)（最短路徑、最小生成樹）

- 排序、調(diào)度、網(wǎng)絡(luò)流問題

- 二分匹配算法、線性規(guī)劃

- 整數(shù)規(guī)劃、分支限界法

4. Further Pure Mathematics：

- 更深入的函數(shù)論與數(shù)論

- 二階微分方程的變換法

- 極限與漸近分析

- 數(shù)值方法與算法

A-Level進(jìn)階數(shù)學(xué)是一門難度很高的課程，既需要學(xué)生具備堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又要求學(xué)生有抽象思維、邏輯推理和不斷鉆研的精神。如果學(xué)生有課程方面的問題希望得到有針對性的指導(dǎo)和解答，可以立即聯(lián)系考而思的課程顧問，以獲得一對一alevel課程輔導(dǎo)。通過輔導(dǎo)，學(xué)生將及時解決課業(yè)問題、充分掌握課程重點、不斷提升解題技能，從而獲得更好的學(xué)習(xí)成果。